VIDA ÚTIL DE UN FILTRO EN FUNCIÓN DE LA SUPERFICIE DEL MEDIO FILTRANTE.

VIDA ÚTIL DE UN FILTRO EN FUNCIÓN DE LA SUPERFICIE DEL MEDIO FILTRANTE.

El objeto del siguiente análisis es determinar cómo varía la vida útil de un filtro, para un caudal dado, si aumentamos o reducimos su superficie filtrante.

Para ello debemos definir primero cuándo termina la vida útil de un filtro o dicho de otra manera cuándo debe reemplazarse el mismo. Posteriormente trataremos de encontrar una expresión matemática que relacione el volumen total de líquido  filtrado por un filtro hasta que llega al fin de su ciclo con el área filtrante del mismo. Esta expresión nos permitirá comparar la vida útil de dos filtros con idéntico medio filtrante pero con distinta área de filtración.

Usualmente, un filtro se cambia cuando ocurre alguna de las siguientes situaciones:

·  La caída de presión del mismo llega a la máxima caída de presión admisible definida por el fabricante.

· La caída de presión corresponde a un caudal mínimo por debajo del cual no es conveniente seguir filtrando debido a la lentitud del proceso.

·  La caída de presión no puede seguir aumentando porque la bomba no puede entregar más energía para que ello ocurra.

· Cuando el fluido se empuja con un gas comprimido a una determinada presión  y dicha presión no puede aumentarse, impidiendo que la caída de presión pueda seguir aumentando.

· Si se trata de un filtro de membrana esterilizante, cuando el mismo no “pasa” el ensayo de integridad.

En síntesis, vemos que finalmente el momento de cambiar un filtro está siempre ligado a un determinado valor límite de caída de presión elegido por el usuario. Llamaremos a esa caída de presión de cambio de filtro Δp_cambio

Analicemos entonces de que depende la caída de presión de un filtro asumiendo que el flujo a través del mismo es laminar (a).

La caída de presión de un filtro si el flujo es laminar es igual a Δp= K*v , donde v es la velocidad del fluido en sentido perpendicular a la superficie del medio filtrante.

Además v = Q/A, donde Q es el caudal que pasa por el filtro y A la superficie del medio filtrante.

K es un factor que representa la resistencia del medio filtrante al paso del fluido. Si el fluido que pasa por el filtro estuviese totalmente libre de partículas, K sería una constante. Pero  sabemos por experiencia que la caída de presión de un filtro, aun manteniendo constante el caudal y por lo tanto la velocidad, va aumentando a medida que el filtro se satura por efecto de la acumulación de partículas sobre el medio filtrante. De esto último podemos deducir que K no es una constante sino que depende también del espesor de la torta filtrante que se va formando. Se puede concluir entonces que K = c*e, donde c es una constante que depende fundamentalmente de la viscosidad del fluido y de la morfología del medio filtrante y “e“ es el espesor de la torta filtrante que se forma con las partículas retenidas y que es variable a lo largo de la vida útil del filtro.

En consecuencia la caída de presión de un filtro será igual a:

Δp= c*e * (Q/A)

A una caída de presión de cambio (Δp_cambio ), le corresponderá un único espesor de torta filtrante “e” que llamaremos e_c  y un único volumen filtrado hasta ese momento que llamaremos VF.

En consecuencia, la caída de presión de cambio de filtro quedará expresada como:

Δp_cambio = c*e_c * (Q/A)

Supongamos ahora que para filtrar un fluido utilizamos un filtro que llamaremos F1, cuya superficie es A₁ y que al llegar al Δp_cambio  ha logrado filtrar un volumen VF1, habiéndose formado sobre su superficie una torta filtrante de espesor e_c1

Para este filtro F1 al momento del cambio del mismo, la caída de presión de cambio será:

Δp_cambio = c*e_c1 * (Q/A₁) (1)

Supongamos que para filtrar el mismo fluido con el mismo caudal, utilizamos ahora otro filtro F2, construido con idéntico medio filtrante y cuya superficie A₂ = N * A1, donde A₂ > A1 y que la caída de presión de cambio de dicho filtro F2 por las mismas razones que en la caso anterior es también Δp_cambio.  Determinemos a continuación cuál será el valor del espesor de la torta filtrante e_c2 en el momento en que se alcanza la caída de presión de cambio de cada uno de estos filtros.

Tendremos:

Δp_cambio = c*e_c2 * (Q/A₂)  (2)

De (1) y (2) tenemos:

c*e_c1 * (Q/A₁) = c*e_c2 * (Q/A₂)  (3)

Reemplazando en (3) A₂ = N * A₁, y simplificando nos queda:

N * e_c1  = e_c2 , (4)

Esto significa que al alcanzar el valor de caída de presión de cambio el espesor de la torta filtrante del filtro F2 (de mayor superficie) es N veces mayor que el espesor de la torta filtrante del filtro F1.

Conociendo la superficie de los filtros y el espesor de las tortas filtrantes de cada uno de ellos al momento de cambio de filtro, podemos calcular el volumen de las tortas filtrantes VT de cada uno de los filtros, que será:

VT₁ = A₁ * e_c1 (5)

VT₂ = A₂ * e_c2  (6)

Reemplazando en (6)  A2 = N * A1, nos queda: 

VT₂ = N * A1 * e_c2  (7)

Reemplazando en (7) e_c2 con la expresión (4) nos queda:

VT₂ = N * A1 * N * e_c1  = A1 * N² * e_c1 = A1 * N² * e_c1  (8)

Dividiendo miembro a miembro (8) sobre (5) nos queda:

VT₂  / VT₁ = N²  (9)

Reemplazando N con N= A2/A1, nos queda:

VT₂  / VT₁ = (A2/A1)²  (10)

La expresión (9) indica que el volumen de la torta filtrante VT2 que se acumuló en el filtro F2 al llegar a la caída de presión de cambio de filtro es N al cuadrado veces superior  al volumen de la torta filtrante VT1  que se formó en el filtro F1 al final de la vida útil de este último.

Si queremos relacionar el volumen de la torta filtrante al cambiar un filtro con el volumen total de líquido filtrado hasta ese momento, podemos deducir que:

VT = C * VF (11),

donde como dijimos VT es el volumen de la torta filtrante, C es la concentración de contaminantes contenidos en el fluido filtrado expresada en Vol / Vol, y donde VF es el volumen de fluido filtrado a lo largo de la vida útil del filtro.

Reemplazando (11) en (9) nos queda:

(C * VF₂) / (C * VF₁) = N²,

VF₂ / VF₁ = N².

Como N = A2 /A1, finalmente nos queda:

VF₂ / VF₁ = (A2 /A1)²

En resumen, el volumen total filtrado por el filtro F2 de superficie A2 es N al cuadrado veces el volumen total filtrado por el filtro F1 de superficie A1.

Para visualizar esto de manera práctica, si tenemos un filtro F2 cuya superficie es 3 veces la superficie de F1 y utilizamos ambos filtros para filtrar el mismo fluido haciendo pasar por ellos el mismo caudal Q, el volumen filtrado por el filtro F2 al final de su vida útil será 3 al cuadrado veces mayor que el del filtro F1, o sea 9 veces mayor.

De acuerdo a lo publicado por el Sr. Mino Covo en sus “Apuntes Sobre Filtración de Fluidos”, pág.  24, 25 y 26, en referencia a este mismo tema, el exponente que afecta a la relación de superficies no será siempre igual a 2 como se deduce al análisis hecho hasta aquí, sino que dicho exponente será variable en función de cuán deformables sean las partículas, quedando esta ecuación expresada como sigue:

VF₂ / VF₁ = (A2 /A1)^ß (12)

Si las partículas son muy deformables, ß = 1 y si son totalmente indeformables, ß = 2.

Esto se explica porque al ser deformables las partículas en vez de rígidas, estás obturan los canales libres que se forman en la torta filtrante “impermeabilizándola” más rápidamente, haciendo que la caída de presión alcance también más rápidamente el valor de cambio y que al momento de cambio el espesor de la torta filtrante sea menor que si las partículas hubiesen sido indeformables, deduciéndose de la ecuación (12) que el volumen final filtrado será también menor.

(a)               El flujo es laminar cuando se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan sólo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Si se introdujese un  colorante en un flujo laminar se vería que el mismo se mueve siguiendo una delgada línea paralela a las paredes de la cañería. En Mecánica de los Fluidos se establece que un flujo es laminar cuando el número de Reynolds es menor a 2.000.  Re < 2.000